Eine mathematische Analyse weit verbreiteter Methoden zur Sitzverteilung in Parlamenten liefert detaillierte Einsichten über deren strukturelle Eigenschaften und mögliche Anpassungen.
Dr. Javier Cembrano, Mitglied der Abteilung "Algorithms and Complexity". Foto: Philipp Zapf-Schramm/MPI INF
Ein politischer Akteur soll nach einer Wahl Sitze im Parlament proportional zu den gewonnenen Wählerstimmen erhalten – so die einleuchtende Grundannahme in demokratischen Gesellschaften. Doch da Sitze nur in ganzen Zahlen vergeben werden können, entstehen bei deren Verteilung unvermeidliche Rundungsprobleme. Diese können wiederum dazu führen, dass kleine Änderungen in den Stimmenzahlen oder an der Gesamtanzahl der Sitze unerwartete Auswirkungen auf die Verteilung haben. Ein internationales Forschungsteam unter Beteiligung des Max-Planck-Instituts für Informatik hat nun eine der am häufigsten verwendeten „Methodenfamilien“ zur Sitzverteilung – die Divisormethoden – systematisch untersucht.
Ziel des Teams war es, ein besseres mathematisches Verständnis darüber zu gewinnen, welche Ergebnisse bei der Sitzverteilung mit Divisormethoden überhaupt möglich sind. Dabei stießen die Forschenden auf eine überraschende Verbindung zu einem ungelösten Problem der Geometrie und untersuchten zudem, wie Abweichungen von der idealen Sitzverteilung verringert werden könnten.
„Die Verteilung der Sitze in Parlamenten ist seit über 200 Jahren ein zentrales Diskussionsthema in der politischen Organisation demokratischer Gesellschaften“, erklärt Javier Cembrano, Postdoktorand in der Abteilung „Algorithms and Complexity“ am Saarbrücker Max-Planck-Institut für Informatik. Im Wesentlichen haben sich in dieser Zeit zwei Methodenfamilien zur Verteilung der Sitze etabliert: Quotenmethoden und Divisormethoden.
Bei Quotenmethoden wird zunächst berechnet, wie viele Sitze einer Partei proportional zustehen würden. Anschließend werden die Sitze als ganze Zahlen zugewiesen, wobei verbleibende Sitze an die Parteien mit den größten Nachkommastellen vergeben werden. Diese Methoden können jedoch paradoxe Effekte hervorrufen, etwa das sogenannte „Alabama-Paradoxon“, bei dem eine Partei trotz gleichbleibender Stimmenanzahl Sitze verlieren kann, wenn das Parlament vergrößert wird.
Divisormethoden hingegen vermeiden einige dieser Paradoxien, indem sie Stimmenzahlen durch einen bestimmten Divisor teilen, um eine Sitzverteilung direkt zu berechnen. Anstatt Nachkommastellen für die Rundung zu verwenden, setzen sie vordefinierte Rundungsregeln ein und suchen nach dem passenden Divisor. Divisormethoden können jedoch gegen die Quotenvorgabe verstoßen, sodass eine Partei mehr oder weniger Sitze erhält, als ihr gerundeter Stimmenanteil erwarten ließe. In Deutschland wird ebenfalls eine Divisormethode, die Sainte-Laguë/Schepers-Methode, zur Sitzverteilung verwendet.
„Beide Methodenfamilien haben ihre Vor- und Nachteile. Während für Quotenmethoden bereits gut erforscht ist, welche Ansätze zu welchen Ergebnissen führen, war dies für Divisormethoden bislang weitgehend unklar“, erklärt Javier Cembrano. Ein genaueres Verständnis der Ergebnisräume dieser Methoden könnte jedoch dazu beitragen, Wahlsysteme besser zu erfassen und möglicherweise Sitzverteilungsverfahren zu entwickeln, die näher an der idealen Proportionalität liegen. Die Forschenden haben daher erstmals eine systematische Untersuchung der möglichen Sitzverteilungen durch verschiedene Divisormethoden durchgeführt.
Dabei fanden sie eine überraschende Verbindung zu einem seit Langem offenen Problem aus einem Teilbereich der Geometrie, der diskreten Geometrie, bekannt als die „Komplexität der k-Level in Linienanordnungen“. Die Studie zeigt, dass die Anzahl der möglichen Sitzverteilungen bei Divisormethoden nach einem ähnlichen Muster variiert wie die Punkte im k-Level-Problem. Konkret konnten die Forschenden obere und untere Schranken für diese Variabilität bestimmen und zeigen, dass sie innerhalb einer bestimmten mathematischen Grenze bleibt. So betrachtet sind Sitzverteilungs-Probleme eng mit Bereichen der theoretischen Informatik und der diskreten Mathematik verknüpft. Die Untersuchung ist somit nicht nur für Wahlsysteme potenziell relevant, sondern erörtert auch ein algorithmisches Problem, das die Forschenden mit etablierten Methoden aus der theoretischen Informatik und der kombinatorischen Optimierung bearbeiten konnten, um das Verhalten von Sitzvergabe-Methoden besser zu verstehen.
Neben der strukturellen Analyse untersuchten die Forschenden auch, ob Zufallsverfahren helfen könnten, die Abweichung von der idealen Sitzverteilung zu reduzieren. Dabei zeigte sich, dass zufällige Rundungsmechanismen im Durchschnitt zu einer geringeren Verzerrung führen könnten. Allerdings bleiben gewisse Abweichungen bestehen, „ganz abgesehen davon, dass sich Zufallsverfahren bei politischen Entscheidern schwer durchsetzen ließen“, sagt Javier Cembrano.
Das Papier unter dem Titel „New Combinatorial Insights for Monotone Apportionment“ veröffentlichte der Max-Planck-Forscher Javier Cembrano gemeinsam mit seinen Kollgen José Correa (Universität von Chile) Ulrike Schmidt-Kraepelin (TU Eindhoven), Alexandros Tsigonias-Dimitriadis (Europäische Zentralbank) und Victor Verdugo (Päpstliche Katholische Universität (PUC) Chile) bei der 2025er Auflage des „ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms“ (SODA), einer der weltweit führenden Fachkonferenzen der theoretischen Informatik.
Originalpublikation:
J. Cembrano, J. Correa, U. Schmidt-Kraepelin, A. Tsigonias-Dimitriadis, V. Verdugo (2025): „New Combinatorial Insights for Monotone Apportionment”. In: Proceedings of the 2025 Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA). https://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/1.9781611978322.39
Wissenschaftlicher Ansprechpartner (auf Englisch):
Dr. Javier Cembrano
Max-Planck-Institut für Informatik
E-Mail: jcembran[at]mpi-inf.mpg.de
Redaktion:
Philipp Zapf-Schramm
Max-Planck-Institut für Informatik
Tel: +49 681 9325 5409
E-Mail: pzs@mpi-inf.mpg.de